Detalle de parámetros, medidas, ecuaciones y algoritmos para la determinación de cálculos en el diseño y desarrollo del Reloj de Sol. Estimación de errores.

Cono ( gnomon )

b) Plaza ( reloj )

c) Construcción

22-26.04.2004

que responde a un simple cambio del sistema de referencia, (de coordenadas eclípticas a ecuatoriales). [ Véase al respecto el tratamiento del cálculo del ángulo Î en el apartado 8.- de este cuaderno, cuya geometría es similar ].

El problema aquí es que las condiciones de contorno no son tan simples como en 8.- La longitud solar a su vez responde a:

= m + C = + M + C

donde:m = longitud media = (longitud del perihelio) + M (Anomalía Media)
y C = Ecuación del Centro
[corrección debida a la órbita elíptica y no circular]
= 2 e sin M + (5/4) e² sin (2M)
[e=excentricidad de la órbita]

por su parte, tanto '' como 'M' son magnitudes referidas a una 'fecha determinada', y esto, para los efectos prácticos del reloj de sol, implica definir un 'origen' y un 'final' del periodo válido de funcionamiento, todo lo dilatado que se quiera, pero que en estricto sentido de la coherencia obligaría a dibujar marcas particularizadas para cada día de los contemplados en dicho periodo en el 'reloj de sol'. Es decir, no tendría sentido calcular un valor d para un n-simo día de dentro de tres años, por ejemplo, si al final se remite ese cálculo a marcas fijadas en el reloj para el primer año. (Por no decir que también entonces habría que atender otros efectos como la variación del valor de la excentricidad de la órbita con el tiempo, la precesión y nutación del eje de rotación de La Tierra, la refracción de la atmósfera terrestre, etc., ...)

Como el nivel de precisión del Reloj de Sol, (frente a otras fuentes de imprecisión, como las debidas propiamente a su construcción), no exige llegar a este extremo, en vez de aplicar las ecuaciones anteriores, (derivadas de las leyes de Kepler en el estricto sentido astronómico de la mecánica celeste), hemos utilizado para fijar el valor diario de la declinación del Sol un algoritmo numérico:

[ Jean Meeus - Astronomical Algorithms (NOAA) ]

      (g)
El valor de ‘h’ utilizado para determinar la cada día ha sido ‘12’, es decir, el mediodía (hora solar), por lo que la última parte de la expresión (g) se anula, quedando reducida a:



[ Resultado del cálculo para expresado en radianes ]

La bondad del algoritmo, comparando su funcionalidad con valores de la declinación calculados por el procedimiento expresado al comienzo de este apartado, [Efemérides Astronómicas -2002- Real Instituto y Observatorio de la Armada en San Fernando - Vol. CCXI ], arroja una desviación en los casos más desfavorables del orden de 30” de arco, lo que traducido a efectos prácticos en este Reloj de Sol puede suponer un error de 1cm (en situaciones extremas, como sombra de 2165 cm ± 1cm, producida tres horas después del mediodía el 1 de enero).

Esta pequeña desviación es irrelevante frente al desplazamiento de ± ½ día que tendrá su máximo en los años bisiestos, (como se indicaba en el detalle 1.- de la pág. 5 de este cuaderno), y que se estima, para la misma situación extrema del párrafo anterior, en ± 25 cm.

Como ya se adelantó en la pág. 4 de la presentación sobre el Reloj de Sol, el movimiento aparente del Sol no es exactamente igual todos los días del año. Por eso distinguimos entre tiempo solar medio y tiempo solar verdadero.

La Ecuación del Tiempo contempla dos de las causas que marcan esta distinción:

a) la excentricidad de la órbita elíptica en el movimiento de La Tierra en torno al Sol.

b) la inclinación del plano de dicha órbita respecto al plano del Ecuador terrestre, (ó lo que es lo mismo, la inclinación del eje de rotación de La Tierra respecto al plano de la eclíptica).

En ambos casos la expresión analítica de los mismos es una serie ilimitada de términos, pero pueden tomarse como suficientemente significativos los de primer ó segundo orden simplificando el problema:

Como en el punto anterior para el cálculo de la declinación , hemos utilizado también aquí para el de la Ecuación del Tiempo un algoritmo numérico por las mismas razones expuestas anteriormente.

[ Jean Meeus - Astronomical Algorithms (NOAA) ]


y, como en el caso anterior, h = 12h. Por tanto:

Una vez definidos los parámetros básicos, (latitud y longitud del emplazamiento, altura del gnomon, ...), así como las series diarias de valores para las variables fundamentales, (declinación y ecuación del tiempo), es el momento de afrontar las variables locales que determinarán la geometría del reloj de sol.

Como se indica al comienzo de la presentación, el mecanismo básico del reloj de sol se fundamenta en que la sombra de un mástil vertical se desplaza un ángulo bien definido por hora sobre la superficie horizontal en que se apoya, (ángulo horario del Sol).

Si nos situamos en el Polo Norte geográfico de La Tierra (PN), este ángulo es exactamente de 15º cada hora, (360º/24 horas). Si nuestra posición no es esa, habrá que proyectar el plano del horizonte polar sobre el plano del horizonte de nuestra posición. Este sencillo proceso define las líneas básicas de la geometría del reloj de sol:

[fig. 5.1]

b) El vértice (G) de los husos horarios se determina igualmente a partir del mismo modelo:



[fig. 5.2]



El punto ‘G’ está situado en el eje de la meridiana y a una distancia ‘g’ de la vertical del gnomon determinada por:






Generalmente el gnomon se construye como un ángulo sólido que ocupa de manera completa el triángulo GOV. De esta forma su sombra se adapta en todo momento a los ángulos horarios mencionados anteriormente. Sin embargo es suficiente el punto extremo de la sombra, el correspondiente al vértice del gnomon (V), para interpretar el reloj. En este reloj, por criterios estéticos simplemente, el ‘cono’ que actúa de gnomon no se ajusta a este modelo y no debe confundirse el extremo más agudo de su base con el punto G.







c) Los puntos ‘G’ y ‘O’ se encuentran en la meridiana, es decir en la línea donde se proyecta la sombra justamente al mediodía solar. La sombra en este momento es la más corta del día. La prolongación de esta línea por sus dos extremos debe cortar al eje de rotación terrestre justamente en los polos. Es el meridiano local.

La determinación correcta de la meridiana es la primera de las cuestiones a resolver de manera rigurosa al iniciar la construcción de un reloj de sol de estas características. El resto de las actuaciones en la construcción la toman como referencia:

1.- el posicionamiento del cono que sirve de gnomon, (tanto su centro como la proyección sobre el suelo de su vértice -gnomon propiamente dicho- deben estar sobre la meridiana).

2.- todas las medidas y ángulos del reloj se despliegan a partir de la misma.

3.- la inclinación del plano del reloj, (alterando su horizontalidad y aconsejable en una obra de las dimensiones de ésta para posibilitar el desalojo de las aguas de lluvia), necesariamente debe ser controlada. En este caso hemos optado por una inclinación de 1º que bascula sobre la meridiana, quedando el punto más alto de la superficie justo al Este y el más bajo al Oeste).

Hay varios procedimientos para resolver esta exigencia de manera adecuada. El más sencillo conceptualmente sería el de utilizar el propio Sol en su recorrido de un día. A efectos constructivos no es tan fácil sin embargo. Este procedimiento exigiría partir de un terreno estrictamente nivelado en el plano horizontal.

Para el caso que nos ocupa se ha resuelto mediante topografía basada en coordenadas UTM.

Hecho todo esto, la situación puede esquematizarse así:

Todavía queda algo por resolver. Las líneas horarias dibujadas hasta el momento corresponden a los valores enteros de las horas, ( 10, 11, 12, 13, 14, ... ), sin embargo nuestra intención de considerar la Ecuación del Tiempo y representar sobre el Reloj las analemas correspondientes implica la determinación de ángulos horarios que se desplazan en algunos minutos de los ya marcados, (para cada hora y cada día del año).

La función de cálculo empleada para definir estos valores es sencilla:




[donde ‘ha’, medido en grados es: ha = (h * 15) + (ET * 15) / 60 y ‘h’ es el desplazamiento horario respecto al mediodía (0, -1, -2, ..., +1, +2, ...) ET=Ecuación del Tiempo]

Una vez determinados los valores ‘ha’, (ángulo horario de cada uno de los puntos hora-calendario a marcar en el reloj), es el momento de calcular la altitud del Sol sobre el horizonte para cada uno de esos instantes temporales.

Como ya se anticipó en la presentación, (pág. 3), la altitud de Sol se relaciona con las magnitudes ya definidas en este momento de la siguiente manera:

[h = altura del gnomon, s = longitud de la sombra desde la vertical del gnomon, = altitud del sol]

Llegados a este punto ya es posible dibujar sobre la superficie del reloj las señales que marcan las analemas, (un punto para cada hora de cada día del año).

Para cada punto ‘P’ se tienen dos coordenadas: P(A,s):

[fig. 7.1]

El ángulo A se mide en sentido positivo desde la meridiana (con vértice en G) en el setido de las agujas del reloj, (hacia el Este), y negativo hacia el Oeste.

La coordenada ‘s’, (longitud de la sobra, entendida ésta como la proyectada por el vértice del cono), se mide desde el punto ‘O’, (proyección vertical de dicho vértice sobre la meridiana), hasta cortar a la línea definida por el ángulo ‘A’.

Aquí quedaría resuelta y terminada la fase de diseño/cálculo del Reloj de Sol. No obstante, resulta evidente que estas coordenadas no son las mejores para trazar sobre la superficie del reloj un número tan elevado de puntos.

Por esta razón hemos preferido transformar estas coordenadas polares a rectángulares con pares P’(X,Y), (ver fig. anterior).

De la propia geometría del sistema, [fig. 7.1], se deducen fácilmente estos valores X,Y.

[recuérdese que ‘g’ es un valor también conocido. Ver pág. 23 en punto 5.-]

Por tanto se trata de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de fácil solución:

Se deshace la ambigüedad en las soluciones de X tomando siempre la raiz obtenida a partir de + por razones obvias en la geometría del plano.
Y será positivo para A > 0 y negativo para A < 0.

El plano de desarrollo del ‘reloj’ ha sido sometido a una pendiente para evacuación de aguas superficiales según el eje E-O.

La pendiente tiene una inclinación teórica de
1º. ( imáx = 1º )

La orientación de la misma (según el eje E-O) ha sido escogida de manera intencionada, (aprovechando la facili-dad para ello de las condiciones del terreno), con objeto de minimizar el impacto de las correcciones a aplicar en los cálculos.

Se ha preferido ‘trasladar’ estas correcciones a partir de los cálculos efectuados para un plano perfectamente horizontal, en vez de aplicar de partida un cálculo del valor de la ‘altitud’ () del sol según este condicionante en cada punto del plano.

- ángulo de la ‘sombra’ en el plano I frente al mismo en el plano H - ( )
S - Longitud de la sombra en el plano I frente a la misma en el plano H - ( s )
X - Desplazamiento del ‘punto de sombra’ en el plano I según el eje N-S frente al mismo en

el plano H - ( x )
Y - Desplazamiento del ‘punto de sombra’ en el plano I según el eje E-O frente al mismo en

el plano H - ( y )
i - ángulo de inclinación de la línea de sombra ( de Longitud S ) en el plano I sobre el plano

H según su posición horaria.

Hay un último detalle -de importancia- que considerar. El gnomon en este caso es el vértice de un cono que actúa como puntero en la superficie del reloj a través de la sombra que el mismo proyecta. Evidentemente dicho vértice, cuya altura sobre el suelo (h) es uno de los parámetros fundamentales en toda la geometría del reloj, es en ese límite de altura h un punto ‘idealmente’ sin grosor.

Esto, unido a las dimensiones -grandes- del reloj y al hecho de que el foco de luz: el Sol, no es un foco puntual, sino que presenta un tamaño angular desde La Tierra de unos 32' de arco, obliga a modelizar el comportamiento de la sombra en ese límite extremo utilizado como puntero del reloj/calendario.

En una primera aproximación puede esperarse que la sombra en el extremo contemplado se diluya en un halo difuso de difícil definición.

Aparece, por tanto, una sombra que puede ser considerada como definida hasta una distancia ‘sd’, (sombra definida), del cono. Esta distancia depende evidentemente del diámetro de la sección de cono contemplada. Si el punto de la superficie del reloj donde ha de proyectarse esta sombra está a una distancia mayor que ‘sd’, no se producirá en dicha superficie la imagen necesaria.

Es preciso establecer, por tanto, una relación entre:

S, longitud de la sombra calculada para cada día-hora del reloj, y
K, diámetro de la sección de cono mínima capaz de proyectar una sombra definida a una distancia sd mayor que S.

    

[fig. 9.2]

El radio angular del Sol medido desde La Tierra es un parámetro que fluctúa entre un valor máximo, (16'24), y un valor mínimo, (15'7), también debido a que la órbita de La Tierra en torno al Sol no es circular sino elíptica, con un 'afelio', (máximo alejamiento, coincidente aproximadamente con el solsticio de verano para el hemisferio norte), al que correspondería el tamaño angular mínimo del Sol, y un perihelio, (mínima distancia de La Tierra al Sol, hacia el solsticio de invierno), momento en el que el Sol presenta su tamaño máximo.

El valor medio de este ángulo es 15'97 (~ 16', que será el valor que utilizaremos en este modelo), con una fluctuación de 1.67% que se corresponde con el valor de la excentricidad de la órbita terrestre.

Este parámetro está afectado igualmente por otros fenómenos, como la refracción de la luz del Sol producida por la atmósfera terrestre, pero no los consideraremos aquí.

La relación a partir de esta geometría es sencilla:

Pero interesa establecer esta relación en función de h, cosa que se puede hacer a partir de la geometría del cono:

Es decir, en función de la longitud de la sombra (S) según la altitud del Sol en un hora/día determinados, hay un límite efectivo para la singularidad del vértice del gnomon que produce un achatamiento del mismo, dejando un final romo del cono. O lo que es lo mismo, la altura h del cono se reduce en un pequeño decremento h al tiempo que el vértice mismo abandona su ideal forma de punto adimensional adquiriendo una sección extensa de diámetro k.

La altura efectiva del cono pasa a ser:

Esta limitación es evidentemente significativa. Para los valores cortos de S -verano- supone una reducción efectiva de la altura del cono del orden de 10 cm al mediodía, y es más notoria a medida que S crece, (horas alejadas del mediodía y/ó sombras en invierno -66 cm a las 12h del 21 de Diciembre-), lo que obliga a recalcular todas las magnitudes que quedan afectadas por la reducción de h, (g -vértice de los husos horarios-, nuevo valor de la sombra y las coordenadas (X,Y), que finalmente son las que se llevan a la superficie del reloj).

(recuérdese que todas las medidas referidas en este cuaderno están expresadas en centímetros)